@misc{oai:ir.soken.ac.jp:00003131,
 author = {加藤, 直広 and カトウ, ナオヒロ and KATO, Naohiro},
 month = {2016-02-17, 2016-02-17},
 note = {  2つの確率変数の間の関連性を調べる方法として回帰モデルが広く用いられている．ここで，標本についての予備知識がある場合，回帰式に制約を置くことが考えられる．制約の例としてパラメーターの順序制約がある．
　順序制約の下でのパラメーターの最尤推定量に対しては漸近正規性が成立しないことが知られる．この問題は，最尤推定量がパラメーター空間の境界となり得ることが原因である．このように，パラメーターの最尤推定量の漸近正規性が成立しないモデルは特異モデルと呼ばれる．
　   特異モデルに対する解析手法としてチューブ法が知られる．チューブ法の名前の由来はパラメーター空間からの距離が一定値以下の集合(チューブ)の体積を用いることである．本論文ではチューブ法の応用例として，多項式回帰モデルにおいて推定された回帰曲線を下に，真の回帰曲線が常に非負であるか検定することを考える．この検定を正値性の検定と定義する．さらにこの検定に対する適合度の検定を併せて扱う．
　   与えられた定義域上で常に非負の値を取る多項式は非負多項式と定義される．多項式の次数があらかじめ与えられているとき，非負多項式の係数全体の集合は閉凸錐であり一般に非負多項式錐という．また，その法錐はモーメント錐と呼ばれる．つまり，正値性の検定とは真の回帰曲線が非負多項式であるか検定することである．
　   正値性の検定の応用例として2群間の比較が挙げられる．2群に対して回帰モデルがあてはめられているとき，各群の回帰曲線の差に対して正値性の検定を行う．これは一方の群の回帰曲線が常に他方の群の回帰曲線を上回っているか検定することに対応する．つまり2群間の多重比較は正値性の検定の応用例であるということがいえる．また，成長曲線モデルに対しても正値性の検定を適用することができる．
  本論文は以下に示す6章から成り立っている．
　  第1章では本論文の目的を紹介する．さらに本論文において扱うモデルを定義し，全体の構成を説明する．
　  第2章では正値性の検定の定式化を行う．また正値性の検定の尤度比統計量の導出を行い，それが推定された回帰曲線の係数の非負多項式錐への直交射影の2乗距離を用いて表されることを説明する．さらに尤度比統計量の帰無仮説の下での分布を導出するため，チューブ法の概要を紹介する．チューブ法を用いることにより，尤度比統計量の帰無仮説の下での分布は非負多項式錐とモーメント錐およびその境界の体積により導出されることが分かる．最後に適合度の検定の尤度比統計量の帰無分布の応用として回帰曲線の同時信頼区間の導出を行う．一般に回帰モデルにおける同時信頼区間としてWorking and Hotelling (1929) による同時信頼区間が知られる．しかし，この手法は回帰式が1次式かつ説明変数の定義域が実数全体の場合のものである．よって，他の場合にはより狭い信頼区間を導出することができる．本論文で導出する同時信頼区間はWorking and Hotelling (1929) のものより狭い信頼区間となっている．
　  第3章では非負多項式錐およびモーメント錐の体積の計算の準備としてチェビシェフ系について扱う．チェビシェフ系は多項式の一般化であり，多くの先行研究がなされている(Karlin and Studden (1966) 等）．この章ではチェビシェフ系の定義を行う．さらに，チェビシェフ系に関する性質を紹介する．この結果を応用することにより説明変数の定義域が単一区間の場合に対する非負多項式錐およびモーメント錐のパラメーター表示が導出される．一方，説明変数の定義域が複数区間の場合についてはこれらのパラメーター表示は与えられていない．そこで，このパラメーター表示については第4章で導出する．
　  第4章では2次式に対する正値性の検定の尤度比統計量の帰無分布の導出を行う．この導出を行うため，この章では説明変数の定義域が複数区間の場合に，非負多項式錐およびモーメント錐の境界のパラメーター表示の導出を行う．さらに，このパラメーター表示を用いて帰無分布の数値計算の具体的な手順を構成し，そのプログラムを紹介する．また，尤度比統計量の計算方法として対称錐計画と円筒代数分解を紹介し，それに適した非負多項式のパラメーター表示を導出する．最後に，数値例を通して正値性の検定の有用性を示す．
　  第5章では一般の次数の多項式に関して正値性の検定の尤度比統計量の帰無分布の導出を行う．この章では説明変数の定義域が区間の場合を扱う．第3章の結果を応用することにより非負多項式錐とモーメント錐およびそれらの境界のパラメーター表示が得られる．回帰式の次数が4以下の場合に，これを用いて帰無分布の数値計算の具体的な手順を構成し，そのプログラムを紹介する．また第5章と同様に，尤度比統計量の計算方法を示す．さらに，数値例を通して正値性の検定の有用性を示す．
　  第6章では本論文のまとめを行う．さらに，今後の課題として多項式以外のチェビシェフ系に対する正値性の検定の展望を述べる．, application/pdf, 総研大甲第1504号},
 title = {多項式回帰モデルにおける正値性の検定に関する研究},
 year = {}
}